主成分分析(Principal Component Analysis，简称PCA)是一个非监督的机器学习算法，主要用于数据的降维处理。通过降维，我们可以发现数据中更便于人类理解的特征，方便数据可视化，使人类更容易理解可视化后的数据。它也能提高算法的运行效率，经过主成分分析以后再用于机器学习算法，数据的被识别率也会更好。
一、主成分分析的主要原理
降维是在训练算法模型前对数据集进行处理，会丢失信息。降维的方式本质是有无穷多种的，我们期望在其中找到“最好”，或者说“丢失信息”最少的那一种。主成分分析就是对数据进行降维和数据优化的一种手段。
以上面这张图为例，这是个二维的特征样本。若我们把它降到一维，显然有两种最简单的做法：
我们分别将这些数据完全映射在其中一个轴上。显然，右边的方案是相对较好的，因为第二种方案点和点之间的距离相对较大，点与点之间相对的有可区分度，相对保持了原来点和点之间的距离。那我们有更好的降维方案吗？
这里的“更好”是指使样本的区分度更加明显。
如上图所示，若我们将所有的数据映射到红线上，映射后的样本整体与原来样本的分布并没有更大的差距。尽管这根红线是斜的，但我们也可以把它看作是一个维度的坐标轴，将所有的点从二维降到了一维。点与点之间的距离也更加趋近于原来点与点之间的距离，区分度也更加明显。那我们如何找到这个让样本间间距最大的轴？我们用“方差”来定义样本间的间距，即
。这时我们的问题就变成了：
为了解决这个问题，在进行主成分分析之前，我们先要将样本的均值归零(demean)，将所有的样本减去它们整体的均值，实际上就是把坐标轴进行平移，使得样本在每一个维度的均值都为零：
上面提到方差公式为，既然样本在每一个维度的均值都为零，即
为0，那方差公式就化为
。
我们将这条红线的方向向量设为 w = (w1,w2)，所谓主成分分析法就是先将数据进行demean处理，并且想要求一个轴的方向(w1,w2)。使所有的样本方向映射到 w 后，有：
其中Xproject为映射后的样本。
又因为我们先前进行过demean处理，均值为0，所以就成了：
其中的
又是谁呢？我们画一张图来说明：
若我们要将 X(i) 映射到 w 上，也就是向 w 所在的轴作一条垂线，垂足记作(Xpr1(i), Xpr2(i))。我们要求的模的平方实际就是图示蓝色部分长度对应的平方，根据向量点乘的法则，把 w 看作单位向量（因为 w 就代表方向，这里为了之后运算方便），蓝色部分的长度就等于X(i) · w。
我们的最终目标，现在转化成了求一个 w，使得
最大，我们成功将它转换成了一个目标函数最优化问题，用梯度上升法解决。虽然我们也能用数学推导主成分分析，本文我们还是重点用搜索的方法解决主成分分析，对梯度法有更加深入的认识。
二、使用梯度上升法求解PCA问题
我们的目标在上一节被转化为求一个 w，使得最大。把 X(i) · w 展开，设整个方差为 f(X)，得
。现在我们来求 f(X) 的梯度，根据求导法则，有：
把右边的部分写作两个矩阵相乘的形式：
进一步进行向量化、化简，得：
最终 f 的梯度可以化简成下面的式子：
三、运用梯度上升法编程求解PCA
新建一个工程，创建一个main.py文件，实现如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#创建测试数据
X = np.empty((100, 2))
X[:,0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X[:,1] = 0.75 * X[:,0] + 3. + np.random.normal(0, 10., size=100)
#样本均值归零
def demean(X):
return X - np.mean(X, axis=0) #axis=0，沿着行的方向计算均值，实则求每一列均值
X_demean = demean(X)
#定义f
def f(w, X):
return np.sum((X.dot(w) ** 2)) / len(X)
#定义f的导数
def df(w, X):
return X.T.dot(X.dot(w)) * 2. / len(X)
#对一个向量求单位向量（单位化）
def direction(w):
return w / np.linalg.norm(w)
#实现梯度上升法
def gradient_ascent(df, X, initial_w, eta, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
w = direction(initial_w)
cur_iter = 0
while cur_iter < n_iters:
gradient = df(w, X)
last_w = w
w = w + eta * gradient #与梯度下降的区别就是将减号改为加号
w = direction(w) # 注意1：每次求一个单位方向
if (abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon):
break
cur_iter += 1
return w
initial_w = np.random.random(X.shape[1]) # 注意2：不能用0向量开始，因为0是目标函数的极小值点，会让梯度上升法错误的终止
# 注意3： 不能使用StandardScaler标准化数据
w = gradient_ascent(df, X_demean, initial_w, 0.001)
print(w) #输出结果
plt.scatter(X_demean[:,0], X_demean[:,1])
plt.plot([0, w[0]*30], [0, w[1]*30], color='r') #绘制 w 轴
plt.show()
输出结果和图像如下：
与线性回归不同，梯度下降法求解线性回归问题时需要对数据做归一化处理，而在PCA算法中不需要。
红线所在的轴就是我们求出的第一个主成分，我们又称它为“第一主成分”。当然，对于更高维的数据，我们还可以求出第二、第三主成分……下一篇文章会对此进行探索。